Ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί laplace και fourier : η διαδρομή γέννησης τους και εφαρμογές στη μηχανική : μια απλουστευμένη θεώρηση
Date Issued
2016
Author(s)
Advisor
Abstract
Στην πτυχιακή αυτή μελέτη θα ασχοληθούμε με τους δύο πιο σημαντικούς ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς, τον μετασχηματισμό Laplace και το μετασχηματισμό Fourier. Θα προσπαθήσουμε να τους αγγίξουμε από μια άλλη σκοπιά και όχι ως απλά δυο εργαλεία χρήσιμα στην επιστήμη μας. Θέλουμε να τους δούμε από μια σ διερενητική κοπιά, ψάχνοντας τα χνάρια των δημιουργών τους αλλά και των επιστημόνων τη εποχής. Αρχικά κάνουμε μια μικρή ιστορική αναδρομή για να διαπιστώσουμε τις ανάγκες που αποτέλεσαν τη γενεσιουργό αιτία κατασκευής τους, με πρωταρχική βέβαια την επίλυση συγκεκριμένων διαφορικών εξισώσεων. Για τον κάθε μετασχηματισμό ξεχωριστά, μετά τον ορισμό και τις συνθήκες ύπαρξης, αναζητούμε τη διαδρομή και τα στάδια διαμόρφωσης του στη σημερινή μορφή, αναφέρουμε τις ιδιότητες του, καθώς και τη διαδικασία που ακολουθούμε για την επίλυση διάφορων προβλημάτων. Προσπαθήσαμε στη συνέχεια να εντοπίσουμε και να προσδιορίσουμε την σημαντικότητα των δύο μετασχηματισμών μέσα από ένα πλήθος προβλημάτων και εφαρμογών, με ιδιαίτερη έμφαση στη Μηχανική Επιστήμη. Στο τέλος επιχειρούμε μια σύγκριση μεταξύ των δύο μετασχηματισμών .
Στην πορεία μελέτης του θέματος προέκυψαν πολύ ενδιαφέροντα πεδία εφαρμογών όπου θα μπορούσε κάποιος να επικεντρωθεί και να εξαγάγει σπουδαία αποτελέσματα, όπως η θεωρία σημάτων και συστημάτων. Η συνάρτηση μεταφοράς αποδεικνύεται μια πολύ έξυπνη κατασκευή που συστηματοποιεί όλες σχεδον τις κλασικές Διαφορικές Εξισώσεις και με απλό τρόπο μας δίνει την απόκριση ανάλογα με τη δύναμη διέγερσης. Λόγω στενότητας χώρου και χρόνου δεν θα αναφερθούμε διεξοδικά σε αυτά τα θέματα.
Στην πορεία μελέτης του θέματος προέκυψαν πολύ ενδιαφέροντα πεδία εφαρμογών όπου θα μπορούσε κάποιος να επικεντρωθεί και να εξαγάγει σπουδαία αποτελέσματα, όπως η θεωρία σημάτων και συστημάτων. Η συνάρτηση μεταφοράς αποδεικνύεται μια πολύ έξυπνη κατασκευή που συστηματοποιεί όλες σχεδον τις κλασικές Διαφορικές Εξισώσεις και με απλό τρόπο μας δίνει την απόκριση ανάλογα με τη δύναμη διέγερσης. Λόγω στενότητας χώρου και χρόνου δεν θα αναφερθούμε διεξοδικά σε αυτά τα θέματα.